Fórmulas de flecha y momento máximo en vigas

Reacciones, momento flector máximo, flecha y giro de los 15 casos de carga más habituales, con un ejemplo numérico verificado en cada fórmula.

Prontuario de fórmulas de vigas de un vano con rigidez EI constante (teoría de Euler-Bernoulli): reacciones, momento flector máximo, flecha máxima δ y giro θ. La columna «Ejemplo» aplica cada fórmula a L = 6 m, EI = 10 000 kN·m², q = 10 kN/m, P = 20 kN, M = 15 kN·m y a = 2 m, y cada valor se contrasta automáticamente con el motor de la calculadora de vigas, que resuelve también vigas continuas, cargas combinadas y apoyos elásticos.

Vigas biapoyadas

Caso	Magnitud	Fórmula	Ejemplo
Biapoyada, carga uniforme q	R_A = R_B	q·L/2	30,00 kN
	M_máx (centro)	q·L²/8	45,00 kN·m
	δ_máx (centro)	5·q·L⁴/(384·EI)	16,88 mm
	θ_A	q·L³/(24·EI)	9,000 mrad
Biapoyada, carga puntual P en el centro	R_A = R_B	P/2	10,00 kN
	M_máx (bajo la carga)	P·L/4	30,00 kN·m
	δ_máx (centro)	P·L³/(48·EI)	9,000 mm
	θ_A	P·L²/(16·EI)	4,500 mrad
Biapoyada, carga puntual P a una distancia a de A (b = L − a, a ≤ b)	R_A	P·b/L	13,33 kN
	M_máx (bajo la carga)	P·a·b/L	26,67 kN·m
	δ bajo la carga	P·a²·b²/(3·EI·L)	7,111 mm
	δ_máx (en x = √((L² − a²)/3) desde B)	P·a·(L² − a²)^3/2/(9·√3·EI·L)	7,742 mm
Biapoyada, dos cargas P a una distancia a de cada apoyo	R_A = R_B	P	20,00 kN
	M_máx (entre cargas)	P·a	40,00 kN·m
	δ_máx (centro)	P·a·(3·L² − 4·a²)/(24·EI)	15,33 mm
Biapoyada, carga triangular de 0 (en A) a q (en B)	R_A	q·L/6	10,00 kN
	R_B	q·L/3	20,00 kN
	M_máx (en x = L/√3)	q·L²/(9·√3)	23,09 kN·m
	δ_máx (en x = 0,5193·L)	0,006522·q·L⁴/EI	8,453 mm
Biapoyada, momento M en el extremo A	R_A = −R_B	M/L	2,500 kN
	M_máx (en A)	M	15,00 kN·m
	δ_máx (en x = 0,4226·L desde A)	M·L²/(9·√3·EI)	3,464 mm
	θ_A	M·L/(3·EI)	3,000 mrad

Vigas en voladizo (ménsulas)

Caso	Magnitud	Fórmula	Ejemplo
Voladizo, carga uniforme q	R (empotramiento)	q·L	60,00 kN
	M_máx (empotramiento)	q·L²/2	180,0 kN·m
	δ_máx (extremo libre)	q·L⁴/(8·EI)	162,0 mm
	θ (extremo libre)	q·L³/(6·EI)	36,00 mrad
Voladizo, carga puntual P en el extremo	R (empotramiento)	P	20,00 kN
	M_máx (empotramiento)	P·L	120,0 kN·m
	δ_máx (extremo libre)	P·L³/(3·EI)	144,0 mm
	θ (extremo libre)	P·L²/(2·EI)	36,00 mrad
Voladizo, momento M en el extremo	M (constante)	M	15,00 kN·m
	δ_máx (extremo libre)	M·L²/(2·EI)	27,00 mm
	θ (extremo libre)	M·L/EI	9,000 mrad
Voladizo, carga triangular de q (empotramiento) a 0 (extremo)	R (empotramiento)	q·L/2	30,00 kN
	M_máx (empotramiento)	q·L²/6	60,00 kN·m
	δ_máx (extremo libre)	q·L⁴/(30·EI)	43,20 mm

Vigas empotradas y apoyadas

Caso	Magnitud	Fórmula	Ejemplo
Empotrada-apoyada, carga uniforme q	R_A (empotramiento)	5·q·L/8	37,50 kN
	R_B (apoyo)	3·q·L/8	22,50 kN
	M_A (empotramiento, negativo)	q·L²/8	45,00 kN·m
	M⁺_máx (a 3L/8 de B)	9·q·L²/128	25,31 kN·m
	δ_máx (a 0,4215·L de B)	0,005416·q·L⁴/EI ≈ q·L⁴/(184,6·EI)	7,019 mm
Empotrada-apoyada, carga puntual P en el centro	R_A (empotramiento)	11·P/16	13,75 kN
	R_B (apoyo)	5·P/16	6,250 kN
	M_A (empotramiento, negativo)	3·P·L/16	22,50 kN·m
	M⁺ (bajo la carga)	5·P·L/32	18,75 kN·m
	δ_máx (a L/√5 de B)	P·L³/(48·√5·EI)	4,025 mm

Vigas biempotradas

Caso	Magnitud	Fórmula	Ejemplo
Biempotrada, carga uniforme q	R_A = R_B	q·L/2	30,00 kN
	M en los empotramientos (negativo)	q·L²/12	30,00 kN·m
	M⁺ (centro)	q·L²/24	15,00 kN·m
	δ_máx (centro)	q·L⁴/(384·EI)	3,375 mm
Biempotrada, carga puntual P en el centro	R_A = R_B	P/2	10,00 kN
	M en los empotramientos (negativo)	P·L/8	15,00 kN·m
	M⁺ (centro)	P·L/8	15,00 kN·m
	δ_máx (centro)	P·L³/(192·EI)	2,250 mm
Biempotrada, carga puntual P a una distancia a de A (b = L − a)	M_A (empotramiento, negativo)	P·a·b²/L²	17,78 kN·m
	M_B (empotramiento, negativo)	P·a²·b/L²	8,889 kN·m
	R_A	P·b²·(3a + b)/L³	14,81 kN
	δ bajo la carga	P·a³·b³/(3·EI·L³)	1,580 mm

Flecha admisible

El CTE DB SE (4.3.3.1) limita la flecha relativa en pisos con tabiques frágiles a L/500, con tabiques ordinarios a L/400 y en el resto de casos a L/300 (integridad); para la apariencia, L/300 con cargas casi permanentes. En voladizos se usa como luz el doble del vuelo.

Convenio de signos

Cargas hacia abajo positivas; momento positivo cuando tracciona la fibra inferior. En empotramientos el momento es negativo (tracciona la fibra superior): en las tablas se da su valor absoluto.

Para obtener EI usa el prontuario de perfiles (I en cm⁴; con E = 210 000 MPa, EI [kN·m²] = 2,1·I [cm⁴]) o las fórmulas del momento de inercia.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la flecha de una viga biapoyada con carga uniforme?

δ = 5·q·L⁴/(384·E·I), en el centro del vano. Con q en kN/m, L en m y EI en kN·m², la flecha sale en m.

¿Cuál es el momento máximo de una viga biapoyada?

Con carga uniforme, M = q·L²/8 en el centro; con una carga puntual centrada, M = P·L/4.

¿Y la flecha de un voladizo?

Con carga uniforme, δ = q·L⁴/(8·EI); con una carga puntual en el extremo, δ = P·L³/(3·EI).

¿Cómo paso I en cm⁴ a EI en kN·m²?

Para acero (E = 210 000 MPa = 2,1·10⁸ kN/m²) e I en cm⁴ (10⁻⁸ m⁴): EI = 2,1·I kN·m². Un IPE 300 (I_y = 8356 cm⁴) tiene EI = 17 548 kN·m².